Mathstyle Pro - программа для решения задач по математике. Работает безотказно круглые сутки, выдает решение задачи целиком.

Доступна версия 1.8 (скачать)

Другие программы для решения математики
 

Системы линейных алгебраических уравнений

Решение системы уравнений

Принцип решения системы из уравнений с неизвестными аналогичен для любых .

Рассмотрим такую систему из уравнений с неизвестными.


Здесь индекс над коэффициентом a — номер строки, в которой находится этот коэффициент (ни в коем случае не путать со степенью!), нижний индекс — порядковый номер в самом уравнении.



Общий алгоритм решения таков:

  1. Выражаем одно из неизвестных (пусть первое ) из какого-нибудь уравнения, из которого удобней всего (пусть из первого ):

  2. Подставляем это неизвестное в другое уравнение из системы (пусть во второе):

    .

    Теперь во второй строке мы таким образом избавились от переменного , значит, в этом уравнении осталось неизвестных: .

  3. Выражаем любое из этих неизвестных (пусть ) из второго уравнения системы и подставляем его в другую строку, отличную от тех, из которых мы уже выражали какие-то неизвестные (допустим, подставим в третью строку):

    . Вот такое страшное выражение получится, если честно раскрыть все скобки и выразить в общем виде.

  4. Подставляем выражение для в следующее уравнение (уравнение 3), выражаем оттуда следующее неизвестное.

  5. Так проделываем со всеми строками, пока не дойдём до последней. В последней строке у нас останется одно неизвестное (в нашем случае ). Значит, из последней строки мы можем найти численное значение .

  6. Найдя значение неизвестного , подставляем его в предпоследнее уравнение, в котором два неизвестных и . Таким образом, можем найти численное знвчение .

  7. Подставляем значения и в -ое уравнение, в котором 3 неизвестных — , и . Следовательно, находим .

    Проделав это со всеми уравнениями, мы найдём все корней — , , … , , .


Для удобства также можно пользоваться сложением и вычитанием строк таким образом, что:

  • при сложении/вычитании одной строки из другой, складываются/вычитаются переменные (со своими коэффициентами) левые с левыми, правые — с правыми., то есть, вычитая из строки строку , получаем строку .

  • при выполнении этих операций со строками необходимо правильно записывать новый вид системы, а именно: все строки переписываются без изменения, кроме одной, из которой и производим вычитание (к которой прибавляем другую строку), то есть, вычитая из первой строки вторую в системе

    , получаем преобразованную систему .

  • более того, можно каждую строку домножать на некоторое число : |*

    .




Бывают случаи систем, где количество неизвестных не совпадает с количеством уравнений в системе. Будем рассматривать такие системы, в которых уравнений и неизвестных, где ().

Случай 1. , то есть уравнений в системе больше, чем неизвестных.

В этом случае либо система имеет единственное множество решений {}, либо не имеет решений совсем. Такая систеиа может иметь пустое множество решений, если в системе есть противоречие

, где номер из промежутка , , . В этом случае одному неизвестному присваиваются два различных значения, следовательно, решений системы нет.


Случай 2. , то есть уравнений в системе меньше, чем неизвестных. В данном случае невозможно свести систему к виду, в котором хотя бы в одном уравнении системы остаётся единственное неизвестное. А значит, нельзя найти единственное значение определённого неизвестного, то есть решений системы бесконечно много. Подобная система так же может не иметь решений, если найдётся такое противоречие, как в случае 1.

Пример

Решить систему уравнений

.

Решение:

Домножим второе уравнение на 4:

.

Прибавим к первой строке вторую:

, .

Итак, мы нашли значение одного неизвестного, подставляем его в другое уравнение, находим другое неизвестное:

.