Mathstyle Pro - программа для решения задач по математике. Работает безотказно круглые сутки, выдает решение задачи целиком.

Доступна версия 1.8 (скачать)

Другие программы для решения математики
 

Полиномиальные уравнения

Решение полиномиального уравнения

Полиномиальное уравнение -ой степени имеет вид: .

Для решения полиномиальных уравнений чаще всего пользуются методом подбора корней, то есть вы интуитивно подбираете корень, подставляете в уравнение и проверяете, равно ли это нулю.

Но просто угадывать корни довольно сложно. Чтобы хоть как-то упростить это дело, будем пользоваться фундаментальными теоремами и «проверенными методами».

Теорема Безу. Допустим, мы имеем некоторый многочлен . Тогда остаток от деления этого многочлена на линейный двучлен будет равен значению многочлена в точке , т. е..

Следствие теоремы Безу. Для того, чтобы многочлен F(x) делился на без остатка, необходимо и достаточно, чтобы число являлось корнем этого многочлена, т. е. .

Тогда на основе этой теоремы можем воспользоваться так называемой схемой Горнера, которая позволяет легко делить полином (многочлен) на двучлен вида .

Наша цель подобрать такое число , чтобы при делении нашего полинома на остаток был равен нулю.


Допустим, мы имеем полином степени . Тогда метод проверки подобранных корней заключается в следующем:

  1. Приводим полином к стандартному, привычному нам виду (если он не приведён) - .

  2. Выписываем коэффициенты перед неизвестными в том порядке, в котором они идут, и заносим их в таблицу:


  3. Подбираем произвольный корень, который может оказаться решением полиномиального уравнения. Допустим, , где - некоторое действительное число. Проверим, является ли оно решением исходного полиномиального уравнения.

    Вписывем корень слева от таблицы:


    Первый коэффициент просто переносим в нижнюю клеточку.


    Теперь умножаем наш корень на этот коэффициент () и складываем результат со следующим коэффициентом . Получившееся число записываем в следующую свободную нижнюю ячейку.



Теперь точно так же умножаем корень на это новое число, прибавляем результат к следующему коэффициенту , получившееся число записываем в следующую нижнюю ячейку.

Продолжаем эти действия пока не заполним все нижние клетки таблицы.


А две последние ячейки будут выглядеть следующим образом:


Таким образом, если число (которое, кстати, и является остатком при делении многочлена на), стоящее в последней нижней клетке равно нулю, то наш предположительный корень удовлетворяет равенству.

Как видно из формулы в последней ячейке — это то же уравнение, где вместо мы подставили число , из чего следует справедливость метода решения с помощью схемы Горнера.

Если нам необходимо найти все корни полиномиального уравнения, то пользуемся схемой несколько раз подряд.

Замечание. Теорема о рациональных корнях многочлена. Если многочлен , у которого все коэффициенты — целые числа, имеет рациональный корень вида, то является делителем свободного члена , а делителем старшего коэффициента .


Удобство этого метода заключается в том, что не надо сразу возводить корень в -ую степень, мы это делаем поэтапно, избавляя себя от вычисления «массивных» чисел , ....

Пример

.

Выписываем коэффициенты в таблицу.


Пробуем какой-нибудь целый корень (из делителей свободного члена 8), например, 1.




Первый коэффициент 1 сносим в нижнюю ячейку.



Умножаем корень на первый коэффициент, результат складываем со вторым коэффициентом: .

Проделывая те же действия, получаем второй коэффициент: .


И так далее, заполняем всю таблицу.



В последней нижней клетке стоит нуль, значит, корень 1 подходит.

Найдя первый корень, можем переписать исходноу уравнение следующим образом:

.

Заметим, что коэффициенты во второй скобке — это получившиеся числа в нижних ячейках вышеприведённой схемы.

Найдём оставшиеся корни полинома (если они есть). Для этого находим корни этой второй скобки. Схему Горнера можно даже не переписывать заново, а продолжить.

Пробуем опять корень 1.



Аналогичным образом находим оставшиеся корни уравнения.


Значит, конечный вид полиномиального уравнения выглядит так:

.