Mathstyle Pro - программа для решения задач по математике. Работает безотказно круглые сутки, выдает решение задачи целиком.

Доступна версия 1.8 (скачать)

Другие программы для решения математики
 

Интегрирование рациональных функций

Интегрирование элементарных дробей

Каждая рациональная функция на каждом промежутке, принадлежащем ее области определения, представима в виде суммы многочлена и элементарных рациональных дробей

\begin{align} \frac{A}{(x-a)^{n}},& \\ \frac{Mx+N}{(x^{2}+px+q)^{n}},& p^{2}-4q<0. \end{align}

Поэтому интегрирование рациональных функций сводится к разложению рациональной функции на элементарные дроби и к интегрированию элементарных дробей и многочленов.

Интегрирование элементарных дробей производится следующим образом:

\label{eq:start_integrals} \int\frac{Adx}{x-a}=A\ln|x-a|+C;
\label{eq:no_number_1} \int\frac{Adx}{(x-a)^{n}}=-\frac{A}{(n-1)(x-a)^{n-1}}+C, n\neq 1;
\label{eq:no_number_2} \begin{split} &\int\frac{Mx+N}{x^{2}+px+q}dx =\\ &=\frac{M}{2}\int\frac{2x+p}{x^{2}+px+q}dx+(N-\frac{Mp}{2})\int\frac{dx}{x^{2}+px+q}= \\ &=\frac{M}{2}\ln(x^{2}+px+q)+(N-\frac{Mp}{2})\int\frac{dx}{x^{2}+px+q}= \\ &=\frac{M}{2}\ln(x^{2}+px+q)+\frac{N-Mp/2}{\sqrt{q-p^{2}/4}}\arctan\frac{x+p/2}{\sqrt{q-p^{2}/4}}+C; \end{split}
\label{eq:end_integrals} \begin{split} &\int\frac{Mx+N}{(x^{2}+px+q)^{n}}dx= \\ &\frac{M}{2}\int\frac{(2x+p)dx}{(x^{2}+px+q)^{n}}+(N-\frac{Mp}{2})\int\frac{dx}{(x^{2}+px+q)^{n}}= \\ &=\frac{M}{2}\frac{(x^{2} + px + q)^{1-n}}{1-n} + (N - \frac{Mp}{2})\int\frac{dx}{((x + p/2)^{2} + q - p^{2}/4)^{n}}, \\ &n > 1. \end{split}

Из пп. \ref{eq:start_integrals} - \ref{eq:end_integrals} следует, что интеграл от элементарной дроби выражается через рациональные функции, логарифмы и арктангенсы. Поэтому неопределенный интеграл от любой рациональной функции на всяком промежутке, принадлежащем области её определения, является элементарной функцией, представимой в виде алгебраической суммы композиций рациональных функций, логарифмов и арктангенсов.

Метод Остроградского

Если знаменатель правильной рациональной дроби $P(x)/Q(x)$ имеет кратные корни, особенно комплексные, то интегрирование такой дроби обычно связано с громоздкими выкладками. В этом случае целесообразно пользоваться формулой Остроградского:

\int\frac{P(x)}{Q(x)}dx = \frac{P_{1}(x)}{Q_{1}(x)}+\int\frac{P_{2}(x)}{Q_{2}(x)}dx.

В этой формуле $Q_{2}(x)$ -- многочлен, имеющий те же корни, что и многочлен $Q(x)$, но все корни многочлена $Q_{2}(x)$ простые(однократные). Многочлен $Q_{1}(x)$ есть частное от деления многочлена $Q(x)$ на многочлен $Q_{2}(x)$, то есть $Q_{1} = Q(x)/Q_{2}(x)$, а $P_{1}(x)$ и $P_{2}(x)$ -- это некоторые многочлены, степени которых соответственно меньше степеней многочленов $Q_{1}(x)$ и $Q_{2}(x).$ Если корни $Q(x)$ известны, то известны и многочлены $Q_{1}(x)$ и $Q_{2}(x).$

Для отыскания многочленов $P_{1}(x)$ и $P_{2}(x)$ их записывают с неопределёнными коэффициентами, которые находят после дифференцирования обеих частей формулы Остроградского. Если $P_{2}\neq 0,$ то, так как корни $Q_{2}(x)$ простые, интеграл $\int\frac{P_{2}(x)}{Q_{2}(x)}dx$ есть трансцендентная функция, она равна сумме слагаемых вида

a\arctan{(\alpha x+\beta)} + b\ln{(\gamma+\delta)} + C, ~a^{2}+b^{2} \neq 0.

В связи с этим второе слагаемое в формуле Остроградского называется \emph{трансцендентной частью} интеграла $\int\frac{P(x)}{Q(x)}dx$, а первое слагаемое -- его \emph{рациональной частью}. Метод Остроградского позволяет найти алгебраическую часть интеграла от правильной рациональной дроби чисто алгебраическим путем, то есть не прибегая к интегрированию каких-либо функций.

Пример 1.

Найти
\int\frac{2x^{4}+5x^{2}-2}{2x^{3}-x-1}dx.

Решение:

Подынтегральная функция -- неправильная рациональная дробь. Разделив многочлен $P(x)=2x^{4}+5x^{2}-2$ на многочлен $Q(x)=2x^{3}-x-1$, получим частное $T(x)=x$ и остаток $R(x)=6x^{2}+x-2$. Следовательно, данная рациональная дробь представляется в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби следующим образом:

\frac{2x^{4}+5x^{2}-2}{2x^{3}-x-1}=x+\frac{6x^{2}+x-2}{2x^{3}-x-1}.

Многочлен $Q(x)=2x^{3}-x-1$ имеет действительный корень $x=1$. Разделив $Q(x)$ на $x-1$, получим

Q(x)=2x^{3}-x-1=(x-1)(2x^{2}+2x+1).

Трехчлен $2x^{2}+x+1$ не имеет действительных корней, поэтому разложение полученной правильной рациональной дроби на элементарные имеет вид

\frac{6x^{2}+x-2}{2x^{3}-x-1}=\frac{A}{x-1}+\frac{Mx+N}{2x^{2}+2x+1}.

Из равенства дробей следует равенство многочленов:

6x^{2}+x-2=A(2x^{2}+2x+1)+(Mx+N)(x-1).

Положив здесь $x=1$, получим $5=5A$, т.е. $A=1$. Приравняв коэффициенты при $x^{2}$ и свободные члены многочленов, получим

\begin{align*} \begin{cases} 2A+M &= 6\\ A-N &= -2 \end{cases} \end{align*}

откуда $M=4$, $N=3$. Таким образом, подынтегральная функция представима в виде

\frac{2x^{4}+5x^{2}-2}{2x^{3}-x-1}=x+\frac{1}{x-1}+\frac{4x+3}{2x^{2}+2x+1}

и, следовательно,

\begin{align*} &\int\frac{2x^{4}+5x^{2}-2}{2x^{3}-x-1}dx= \\ &=\frac{x^{2}}{2}+\ln|x-1|+\int\frac{4x+2}{2x^{2}+2x+1}dx+\int\frac{1}{2x^{2}+2x+1}dx= \\ &=\frac{x^{2}}{2}+\ln|x-1|+\ln(2x^{2}+2x+1)+\arctan(2x+1)+C. \end{align*}

Пример 2.

Найти методом Остроградского интеграл:
\int\frac{4x^{2}-8x}{(x-1)^{2}(x^{2}+1)^{2}}dx.

Решение:

В этом случае многочлен $Q(x)=(x-1)^{2}(x^{2}+1)^{2}$, поэтому

\begin{align*} Q_{2}(x) &= (x-1)(x^{2}+1) \\ Q_{1}(x) &= \frac{Q(x)}{Q_{2}(x)}=(x-1)(x^{2}+1). \end{align*}

Следовательно, существуют многочлены второй степени

\begin{align*} P_{1}(x) &= Ax^{2}+Bx+C\\ P_{2}(x) &= ax^{2}+bx+c, \end{align*}

для которых верно равенство

\int\frac{4x^{2}-8x}{(x-1)^{2}(x^{2}+1)^{2}}dx=\frac{Ax^{2}+Bx+1}{(x-1)(x^{2}+1)}+\int\frac{ax^{2}+bx+c}{(x-1)(x^{2}+1)}dx.

Рациональную дробь $\frac{ax^{2}+bx+c}{(x-1)(x^{2}+1)}$ удобно сразу представить в виде суммы элементарных дробей и переписать формулу Остроградского

\int\frac{4x^{2}-8x}{(x-1)^{2}(x^{2}+1)^{2}}dx=\frac{Ax^{2}+Bx+C}{(x-1)(x^{2}+1)}+\int(\frac{D}{x-1}+\frac{Ex+F}{x^{2}+1})dx.

Дифференцируя обе части этого равенства, получаем

\begin{align*} &\frac{4x^{2}-8x}{(x-1)^{2}(x^{2}+1)^{2}}= \\ &=\frac{(x-1)(x^{2}+1)(2Ax+B)-(Ax^{2}+Bx+C)(3x^{2}-2x+1)}{(x-1)^{2}(x^{2}+1)^{2}}+ \\ &=\frac{D}{x-1}+\frac{Ex+F}{x^{2}+1}, \end{align*}

откуда следует равенство многочленов

\begin{align*} 4x^{2}-8x=-4x^{4}-2Bx^{3}+(A+B-3C)x^{2}+2(C-A)x- \\ -B-C+D(x-1)(x^{2}+1)^{2}+(Ex+F)(x-1)^{2}(x^{2}+1). \end{align*}

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $x$, получаем систему

\begin{cases} D + E &= 0 \\ -A-D + F - 2E &= 0\\ -2B + 2D + 2E - 2F &= 0 \\ A + B - 3C - 2D - 2E + 2F &= 4 \\ -2A + 2C + D + E - 2F &= -8 \\ -B - C - D + F &= 0 \end{cases}

Решая эту систему, находим $A=3$, $B=-1$, $C=0$, $D=2$, $E=-2$, $F=1$. Итак,

\begin{align*} &\int\frac{4x^{2}-8x}{(x-1)^{2}(x^{2}+1)^{2}}dx= \\ &=\frac{3x^{2}-x}{(x-1)(x^{2}+1)}+2\ln|x-1|-\ln(x^{2}+1)+\arctan x+C. \end{align*}