Mathstyle Pro - программа для решения задач по математике. Работает безотказно круглые сутки, выдает решение задачи целиком.

Доступна версия 1.8 (скачать)

Другие программы для решения математики
 

Однородные тригонометрические уравнения

Решение однородных тригонометрических уравнений

Здесь будем рассматривать однородные уравнения вида, то есть одночлены имеют одинаковую степень, а свободный член равен нулю.

Чтобы решить подобные уравнения, надо:

  1. Разделить обе части уравнения на (либо на или ).

    Вообще говоря, прежде чем это делать, надо проверить, являются ли корни того выражения, на которое мы делим, корнями исходного уравнения. Если являются, то сразу выписать их, если нет — то спокойно делить обе части на это выражение. Не сделав этого, можно потерять корни.

    Замечание. Чтобы убедиться наверняка, что ни один корень не потерян, в уравнениях вида (где свободный член равен нулю) первым делом лучше разложить левую часть на множители, потом приравнять каждый из множителей нулю и найти корни.

  2. Разделив обе части уравнения, допустим, на , получается выражение:

    . Дроби сокращаются: .

    Теперь можно сделать замену , сведя это выражение к квадратному уравнению.

    .

  3. Решить типичное квадратное уравнение.

  4. Найдя значения , найти корни первоначального уравнения: , где некоторый корень уравнения .


Если исходное выражение не приведено к виду , нужно сначала преобразовать его, пользуясь основными тригонометрическими формулами, такими, как:

.


Пример

Решить однородное тригонометрическое уравнение

.

Решение:

Воспользовавшись формулами и , получаем:


  1. , значит,.

  2. .

    Мы уже проверили, что является корнем, теперь можем поделить обе части уравнения на :

    .

    Ответ: , .