Mathstyle Pro - программа для решения задач по математике. Работает безотказно круглые сутки, выдает решение задачи целиком.

Доступна версия 1.8 (скачать)

Другие программы для решения математики
 

Показательно-степенные уравнения.

Решение уравнений

Показательно-степенное уравнение— это уравнение вида , то есть такое уравнение, в котором неизвестное стоит и в основании степени, и в показателе.

Ниже рассмотрен случай уравнения , так как к этому виду равносильными преобразованиями можно привести уравнение общего вида.

При решении показательно-степенного уравнения, принято рассматривать несколько случаев.

Случай 1. Если

,

то при одинаковых основаниях в обеих частях уравнения (!) решения этого уравнения лежат в области решений уравнения . Но: не все корни являются корнями исходного уравнения. Например, при условии

выражение вовсе не имеет смысла. Поэтому всегда необходимо проверять найденные корни, подставляя их в исходное выражение.


Случай 2. Если , то при существовании некоторого корня и выполении условий:

,

этот корень является корнем исходного уравнения.


Случай 3. Если , то для любых таких, что , является решением уравнения , так как единица в любой степени остаётся единицей.


Случай 4. Если , то решением первоначального уравнения являются такие , что , а и имеют одинаковую чётность (либо оба чётные, либо оба нечётные).



И как всегда, нулевым шагом алгоритма решения показательно-степенных уравнений — это приведение вашего уравнения к виду , то есть к одному основанию, всеми доступными способами.

В основном в этом помогают формулы и свойства логарифмов:

  1. - основное логарифмическое свойство,

  2. ,

  3. ,

  4. ,

  5. ,

  6. ,

  7. ,

  8. ,

  9. - формула перехода к новому основанию,

  10. .


Пример 1. Решить показательно-степенное уравнение

.

Находим ОДЗ уравнения: , значит, , , .

- привели выражение к общему основанию. Следовательно, модем приравнять степени:

(по свойству 7).

, корень отпадает так как по определению логарифма - .

.

Проверка:

является корнем исхлдного уравнения.



Пример 2.

Решить показательно-степенное уравнение

ОДЗ: , .

  1. Раскрываем скобки:

    Решаем обычное квадратное уравнение.

    , следовательно, корней уравнения нет.

  2. ,

    не является корнем.

  3. ,

  4. , .

    Ответ: .